Pages

06 March 2012

Šta treba da bude cilj učenja matematike?

Pogledajte govor na TED-u Arthura Benjamina, profesora matematike.


Glavna ideja govora je meni bila vrlo interesantna - da konačni "cilj" učenja matematike u školi ne treba da bude kalkulus (funkcije, izvodi, integrali), već statistika. Realno, kaže Benjamin, te stvari imaju relativno usku primenu. Radi se naravno o veoma bitnim stvarima, ali se najveći broj ljudi nikada u životu neće sa time sresti.

Sa druge strane, verovatnoća i statistika su opšteprisutne - kakvu god odluku da donosite (vezanu za posao, zdravlje, ili praktično bilo šta drugo) poznavanje statistike je važno.

I zaista, kada se setim svog učenja statistike, radili smo neke stvari vezano za verovatnoću u gimnaziji, ali sam za statističke pojmove prvi put čuo na fakultetu.

Sve u svemu, mislim da je Benjamin u pravu - ako pretpostavimo da dobar deo ljudi nikada neće ići na fakultet, verovatno ima smisla da se fokus u učenju matematike u srednjoj školi pomeri ka statistici, a da ljudi koji se odluče da studiraju stvari kod kojih je kalkulus neophodan (šta znam, elektrotehnika, ekonomija, razne druge nauke), te stvari nauče na faksu.

Ako neko ima neki kontraargument, voleo bih da ga čujem. 

22 comments:

Filip said...

Mislim da je pre svega najveci problem sto se uopste ne uci sta sve te stvari stvarno znace - izvod, integral, standardna devijacija, itd. I to je uopste slucaj sa vecinom gradiva, ne samo sa matematikom, i na svim nivoima obrazovanja (osnovna i srednja skola, fakultet).

Sto se ideje iz videa tice, mislim da bih se u velikoj meri slozio, ali samo pod uslovom da se sprovede kvalitetna i smislena reforma obrazovanja.
U suprotnom, bar kada se radi o prirodnom smeru u gimnaziji i tehnicki orijentisanim srednjihm skolama, mislim da takva promena ne bi bila bas najbolja.

Dorćolac said...

Ma kakva statistika, ma kakva matematika, sve je to usmereno ka ultimativnom sticanju profita, na račun dušeljubivih disciplina... :)

http://pescanik.net/2012/03/ne-za-profit-zasto-je-demokratiji-potrebna-humanistika/

Чокањ said...

Ентузијаст (да употребим еуфемизам за будалу). Он би да пређе на дискретно. :)

Мислим да свако (барем у нас) зна таман онолико математике колико му је потребно. Снајке по продавницама знају да броје и упознате су са основним бинарним операцијама, дунђери знају Питагорину теорему, пинтери су чули да постоји Пи и запремина, стаклоресци умеју да израчунају површину, водоинсталатери да одмере цевку, по неки кладионичар зна мало комбинаторике и прави зајебане системе. Сваки сточар уме да израчуна дневни просек млека.

Кој ће ђаво некој продавачици вероватноћа и статистика? Да рачуна стандардну девијацију бакшиша? Да неће водоинсталатер да конструише Бајесову мрежу? "Ако Мика одврне ладну док се Ђока купа, која је вероватноћа да ће Ђока да вришти?". Или "Ако Ђока вришти, која је вероватноћа да Мика пере суђе?". Шио ми га Ђура.
Ко је схватио да му је статистика потребна, тај ју је и научио.

Ово је био опортунистички поглед. :)

А да не улазим у то да ће неко мало сутра да суштински разуме Гаусову расподелу или функцију густине вероватноће ако не зна калкулус.

А још и да додам, да ми се овај кикирез што три минута скакуће и баљезга ич не свиђа.

Steve W said...

"Mislim da je pre svega najveci problem sto se uopste ne uci sta sve te stvari stvarno znace - izvod, integral, standardna devijacija, itd."


A sta to 'stvarno" znaci?

Željka Buturović said...

"Glavna ideja govora je meni bila vrlo interesantna - da konačni "cilj" učenja matematike u školi ne treba da bude kalkulus (funkcije, izvodi, integrali), već statistika."

nisam stigla da pogledam video, pa cu samo da prokometarisem stav koji si preneo.

ucenje statistike je razlog vise a ne manje da se uci kalkuus. jednostavno, nema znanja statistike bez vrlo dobrog vladanja kalkulusom, to je jednostavno nemoguce jer se ne razumeju osnovni pojmovi. ima ljudi koji veruju u intuitivno razumevanje statistike ali to nije znanje nego muljanje.

400 bad request said...

"nisam stigla da pogledam video"

Koliko ja vidim, duzina "govora" je tri minuta sto je pre "elevator pitch" nego govor, pa bio to i TED govor.
Nje gova teza je tako ostala nerazradenam, ali moram da priznam da mi se ucinila ocigledno tacnom iako ne originalnom - korisnije je poznavanje statistike nego poznavanje diferencijalnih jednacina i integrala.

Vasa kritika, Zeljka, je da se ne radi o ili-ili odluci, ne?

400 bad request said...

Citajuci komentare na video, ovde , iznenadjuje me koliko se jih ne slaze s tezom.

Misljenje izvesnog Brendan O'Shea je, izgleda, blisko Zeljkinom: "math needs to be taught abstractly from as young an age as possible".

400 bad request said...

U prethodnom komentaru sam ispustio link: http://www.ted.com/talks/arthur_benjamin_s_formula_for_changing_math_education.html

zmau said...

Meni se čini da od vaskolike matematičke teorije u životu najviše srećem određene integrale, a verovatnoća (pre nego statistika) je na odličnom drugom mestu.
I, da, treba čovek da vidi i kvadratne jednačine, zbog optimalnih vrednosti.
E, sad, da li su određeni integrali zbog svega što im prethodi vredni onolikog učenja van tehničkih i matematičkih školskih smerova, to je opet pitanje.

Marko Paunović said...

Kada govorim o znacaju statistike, pre svega mislim o znacaju na zivot van posla, da "obican covek" moze da ima ima vise koristi od poznavanja elementarne statistike nego od izvoda i integrala. Da ne pominjem kladionicu i slicne igre na srecu. :)

Na primer, mislim da je tvrdnja "korelacija nije isto sto i uzrocnost" veoma bitna i da je mnogi ljudi ne shvataju.

Navescu primer... Pre nekoliko godina sam na nekom okruglom stolu razmenio par recenica sa jednom clanicom vlade. Ona je tvrdila da se jasno vidi da kada su bili veci rashodi za njeno ministarstvo, da je rast BDP bio veci. Kada sam joj ja rekao da je mozda uzrocnost obrnuta, odnosno da je veci BDP omogucio da njeno ministarstvo dobije vise para, sasvim iskreno mi je rekla "Vidis, to mi nije palo na pamet." Takodje, iskreno je bila iznenadjena kada sam joj rekao da je u praksi nemoguce ubedljivo dokazati koja od te dve tvrdnje je tacna.

Takodje, mislim da je recimo pojam medijane veoma bitan. Lose je sto makar 90% gradjana Srbije (a mozda i celih 98%) ne zna sta znaci "medijana" i zasto je ona u mnogim prilikama bolja mera od proseka.

Ili, istrazivanje javnog mnjenja... Mislim da bi dobro bilo da gradjani znaju sta otprilike znaci "slucajan uzorak", sta znaci "greska", sta znaci "interval poverenja"...

Prosto, mislim da "obrazovani laik", kao sto treba da zna makar otprilike koja je formula za zapreminu kupe, ili povrsine kruga, treba da zna i sta je normalni raspored.

Željka Buturović said...

"Kada govorim o znacaju statistike, pre svega mislim o znacaju na zivot van posla, da "obican covek" moze da ima ima vise koristi od poznavanja elementarne statistike nego od izvoda i integrala."

obican covek nikad nije niti ce poznavati izvode i integrale (ne toliko zbog njih samih vec zbog nivoa vladanja algebrom koje je potrebno kao osnova). svrha poducavanja izvoda itd. u skolama nije da obicne ljude pripremi za zivot nego da stvori osnov za mali broj kojima ce to znanje svakodnevno trebati i koji nemaju (tj. bar do skora nisu imali) gde drugo to da nauce (porodica, uze okruzenje). i uopste, nema potrebe da skola poducava ljude za zivot, jer sta im za zivot zaista treba samo oni znaju i u svakom slucaju ce ga nauciti.

sto se korelacije vs. kauzacije tice - ogromna vecina onih kojima je to tvrdjenje milijardu puta sasuto na casovima statistike takodje njime ne vlada tj. ne ume da ga primeni u svim situacijama. ume da ga primeni selektivno, ali je veliko pitanje da li bi doticna ministarka bila bas toliko iznenadjena da se radilo o nekom drugom primeru. ljudi zapravo umeju da izvedu i prilicno slozene logicke operacije kada treba da odbace tvrdjenje sa kojim se ne slazu (disconfirmation bias).

"Takodje, mislim da je recimo pojam medijane veoma bitan. Lose je sto makar 90% gradjana Srbije (a mozda i celih 98%) ne zna sta znaci "medijana" i zasto je ona u mnogim prilikama bolja mera od proseka."

vecina ljudi nikad nije cula za taj pojam, ali ja mislim da vecina takodje u slucajevima gde je to relevantno pod "prosekom" zapravo misli na medijanu, mada naravno ne precizno, i uopste buni se kad se prica o proseku u koji su obaceni ekstremni slucajevi (narocito ako isti dokazuju nesto sto im se ne svidja, npr. da je standard porastao).

ali opet, ni poducavanje ne bi dovelo do preciznog znanja. sto nas vraca na pocetak - sve statisticke pojmove koji su prakticni i intuitivni ljudi zapravo vec imaju. posebno ucenje istih zapravo samo stvara iluziju da se zna vise nego sto se zna.

"Ili, istrazivanje javnog mnjenja... Mislim da bi dobro bilo da gradjani znaju sta otprilike znaci "slucajan uzorak", sta znaci "greska", sta znaci "interval poverenja"...'

good luck with that. osim toga, margina greske je zapravo dosta nezgodan i neintuitivan, mnogi bi rekli i beskoristan pojam. vecina laika koja misli da ga razume zapravo je u zabludi, i u nekom smislu zna manje od onih koji makar nemaju iluzije da nesto razumeju.

"Prosto, mislim da "obrazovani laik", kao sto treba da zna makar otprilike koja je formula za zapreminu kupe, ili povrsine kruga, treba da zna i sta je normalni raspored."

bojim se da obrazovani laik nema pojma koja je formula za zapreminu kupe a njegovo razumevanje normalne raspodele bi i sa poducavanjem ostalo tu negde. ljudi (oni malo pametniji, koji su kandidati za obrazovane laike) imaju intuitivni osecaj za normalnu raspodelu, i poducavanje na vrlo povrsnom nivou tu vrlo malo menja.

Željka Buturović said...

inace ovaj video je jos gori nego sto sam mislila. da su nasi djaci ucili statistiku ne bi bilo ekonomske krize? give me a break.

Filip said...

"A sta to 'stvarno" znaci?"

Sta znaci na primer odredjeni integral funkcije? Vecina studenata zna da ga resi i dobije neki broj, ali sam siguran da pojma nema sta taj broj znaci. Za njih je to samo nacin da osvoje poene i poloze ispit.

Ali ako znas da bilo koju funkciju raspodele verovatnoce mozes da integralis na nekom intervalu, i dobijes verovatnocu da neki slucajan uzorak bude iz tog intervala, onda je to sasvim druga stvar.

Matematika je univerzalan jezik i mozes njime da opises bilo koju pojavu u prirodi i bilo koji sistem, ali moras prvo dobro da je razumes.

Inace, neko je spomenuo cini mi se, verovatnoca je mnogo vise zastupljenija u svakodnevnom zivotu i svetu oko nas nego sto se to na prvi pogled cini.

Daniel Wolpert cak ima teoriju da ljudski mozak funkcionise po principu Bajesoog zakljucivanja - http://www.ted.com/talks/daniel_wolpert_the_real_reason_for_brains.html

Nemanja said...

predmet matematika analogan predmetu srpski jezik

cista matematika analogna poeziji i primenjena matematika analogna prozi

calculus je cista matematika i statistika je primenjena matematika

Onda, konačni "cilj" ucenja srpskog jezika u skoli ne treba da bude poezija, vec samo proza.

Kako mozemo uciti samo prozu, a velikane poezija gurnuti pod tepih?

Po meni, mnogo bolje resenje je da se zameni gradjansko vaspitanje/veronauka osnovama statistike. I jare i pare.

Steve W said...

"Sta znaci na primer odredjeni integral funkcije? Vecina studenata zna da ga resi i dobije neki broj, ali sam siguran da pojma nema sta taj broj znaci. Za njih je to samo nacin da osvoje poene i poloze ispit"

Vecina ljudi zna da izracuna obim kvadrata. Taj broj koji su dobili je obim tog kvadrata. Slicno i sa integralima, to sto se u skoli radi neki integral koji "ne znaci nista" se radi upravo da bi se uvezbalo resavanje integrala. Evo upravo si ti napisao da je kalkulus i te kako potreban za verovatnocu i statistiku. Mislim, kakve su to prazne price da treba razumeti "sustinu".

BluesRocker said...

Molim vas da umesto "kalkulus" koristite termin matematička analiza.

Marko Paunović said...

Blues Rocker,

Hvala, bas sam hteo da pitam kako se to na srpskom kaze.

Zeljka,

Ja nisam hteo da postavim pitanje - da li deca treba da uce statistiku, vec - AKO vec imaju 3 ili 4 casa matematike nedeljno, da li je bolje
da uce statistiku ili analizu?

Buduci da se sada statistika u srednjoj skoli ne uci prakticno uopste, kao i to da je u sustini jednostavnija od analize, meni se i dalje cini da ima smisla pomeriti fokus ka statistici. To ne mora da znaci potpuno ignorisanje svega ostalog, ali recimo da bih gimnazijsku matematiku zavrsio sa analizom funkcija, a integrale bih ostavio za faks. Tako dobijeno vreme bih iskoristio za statistiku. Meni to deluje razumno.

Mislim, cinjenica je da prosecan djak od te statistike ne bi zapamtio skoro nista i da bi korist u najboljem slucaju bila mala. Ali prosecan djak tek od analize ne zapamti nista, a korist je verovatno jos i manja. :)

Željka Buturović said...

"Mislim, cinjenica je da prosecan djak od te statistike ne bi zapamtio skoro nista i da bi korist u najboljem slucaju bila mala. Ali prosecan djak tek od analize ne zapamti nista, a korist je verovatno jos i manja. :)"

prosecan djak mozda ima vise koristi (cisto sumnjam), ali zato najbolji djaci (oni koji potencijalno mogu da savladaju calculus) mogu da imaju poprilicne stete - npr. oni koji odu na medicinu ili filozofski fakultet vise nikad nece moci da nauce calculus (ali ce se zato bezbroj puta sresti sa polukoherentnim statistickim predmetima koji bi lepo mogli da reformisu i budu savladani samo kad bi nastavnici mogli da racunaju sa tim da su studenti savladali calculus).

takodje, postoji korist u tome kad covek nista ne zna i svestan je da nista ne zna u odnosu kad nista ne zna a nije toga svestan. problem sa tom kvazistatistikom (kao i ostalim kvazipredmetima) nije samo sto se nista ne zna nego sto se stice iluzija da se nesto zna. zato imas taj fenomen u americi da su njihovi djaci prvi u samopouzdanju kad je u pitanju znanje matematike a mnogo losiji u objektivnim rezultatima.

btw, nisam sigurna da je calculus isto sto i matematicko analiza. moj utisak je da je nasa matematicka analiza kombinacija njihove real analysis i calculusa.

BluesRocker said...

@Željka

http://sh.wikipedia.org/wiki/Matemati%C4%8Dka_analiza

"Matematička analiza (starogrčki ανάλυσις, análysis, rešenje) je oblast matematike koja koristi ideju granične vrednosti. Oblast se pominje i pod imenima viša matematika, infinitezimalni račun, a u engleskoj literaturi kao „Kalkulus“ (eng. Calculus)."

Dok na http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus piše:
"A course in calculus is a gateway to other, more advanced courses in mathematics devoted to the study of functions and limits, broadly called mathematical analysis."

Izgleda da oni calculus smatraju uvodom u matematičku analizu, na nekom nižem nivou, ali na srpskom je pravilnije upotrebiti termin analiza ili uvod u analizu.

Isto me nervira što su jedno vreme svi naši novinari počeli da koriste reč momentum, a odnosi se na impuls iz fizike.

Željka Buturović said...

moj utisak je da je osnovna razlika izmedju nase matematicke analize i njihovog calculsa to sto je u calculusu naglasak na tehnikama racunanja i ima vrlo malo ili uopste nema dokaza, dok se kod nas u matematickoj analizi cesto rade dokazi. ali i to zavisi od toga kako je osmisljen konkretan predmet pa je npr. matematicka analiza na etf bila razlicita za obicne studente i na tzv. specijalnoj grupi. ali sustina je u tome da je taj njihov strasni calculus zapravo laksi od nase analize, koja u sebi ima elemente onog sto oni zovu real analysis.

Filip said...

"to sto se u skoli radi neki integral koji "ne znaci nista" se radi upravo da bi se uvezbalo resavanje integrala"

Sustina nije samo da znas da resis integral, vec da takodje znas kada i kako treba da ga primenis da bi postigao neki rezaultat, kao i sta taj rezultat znaci.
OK, kome treba za neke stvari naucice kasnije itd...ali poenta je da onda imas gomilu ljudi koji samo uvezbaju integrale, i onda misle da to nikome ne treba i da se to uci bez veze.

Evo ti primer verovatnoce, 'izvlace' sarene kuglice ili 'bacaju' kockice i onda racunaju verovatnoce, primenjuju Bajesovu formulu mehanicki; ok za uvezbavanje, ali opet ce ti gomila njih posle reci da je to bez veze i da ih "smara". A realno, treba ti 10 min da im objasnis kako zbog teorije verovatnoce u inbox-u imaju mnooogo manje spama nego sto bi imali inace.
To je ono sto pravi ogromnu razliku izmedju necega interesantnog i korisnog, i necega sto se radi samo da bi se dobili poeni na testu; to je poenta price.

Filip said...

U cemu je problem sa terminom "calculus"?